Суммационная последовательность Фибоначчи

Не сдерживайте свое воображение, отпустите его в свободный полет. Подумайте о Галактике, Вселенной, созвездиях. О великолепии и разнообразии форм различных природных чудес: цветов, деревьев, гор, морей, океанов, животных и невидимых микроорганизмах, незримо присутствующих во вдыхаемом нами воздухе. Не останавливайтесь. Подумайте о том, чего человечеству удалось достичь в таких областях, как медицина, генетика, теория ядра, естественные науки, телевидение, медицина. Вы, скорее всего, удивитесь, узнав о том, что в каждом из этих объектов заключено кое-что общее, а именно - суммационная последовательность Фибоначчи. Еще в тринадцатом столетии Фомой Аквинским был сформулирован один из ключевых принципов эстетики, гласящий, что человеческим чувствам приятны объекты с правильными пропорциями. В своих работах он приводил примеры связи между математикой и красотой, коих в природе великое множество. Положительная реакция человека на объекты, обладающие правильными геометрическими пропорциями, как рукотворные (живопись, архитектура), так и нерукотворные (цветы, кристаллы), заложена в человеческих инстинктах. Ссылался Фома Аквинский на тот же принцип, что описан в работах Фибоначчи.

Легендарный математик Фибоначчи жил и работал в одиннадцатом веке, пользуясь заслуженным уважением среди своих современников. Одним из величайших его достижений является замена римских цифр арабскими. Его фамилия увековечена в открытой им суммационной последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

В данной математической последовательности каждое последующее число, после первых двух единиц, высчитывается путем сложения двух предшествующих ему чисел. Однако что же такого важного в этой последовательности?

Последовательность Фибоначчи стремится по асимптоте (скорость приближения уменьшается по мере приближения) к постоянному соотношению. Само по себе соотношение иррационально, т.е. представлено числом, дробная часть которого представляет собой непредсказуемую бесконечную последовательность десятичных цифр. Точно выразить данное число невозможно. Если разделить любой член данной последовательности на предшествовавший ему член (например, 21:13), то результатом будет величина, колеблющаяся (то не достигающая его, то превосходящая) возле значения 1.61803398875... Установить данное соотношение точно невозможно. Для удобства, в статье мы будем приводить его с точностью до тысячных - 1.618.

Свои первые особые называния данное соотношение получило задолго до того, как средневековый математик Лука Пачиоли назвал его божественной пропорцией. В числе современных его названий и Отношения вертящихся квадратов, и Золотое среднее. Одним из сокровищ геометрии назвал данное соотношение Кеплер. Общепринятое обозначение – греческая буква фи (Ф = 1,618).

Наглядно продемонстрировать асимптотическое поведение последовательности Фибоначчи и угасающие колебания ее соотношения близ иррационального числа Ф можно, продемонстрировав отношения пяти первых ее членов.
1:1 = 1.0000 < фи на 0.6180
2:1 = 2.0000 < фи на 0.3820
3:2 = 1.5000 < фи на 0.1180
5:3 = 1.6667 < на 0.0486
8:5 = 1.6000 < на 0.0180

Продвигаясь вглубь суммационной последовательности Фибоначчи, мы обнаружим, что в результате каждого последующего деления мы будем получать числа все более и более близкие к недостижимому значению Ф.

Чуть ниже мы продемонстрируем, что часть чисел, входящих в суммационную последовательность Фибоначчи, встречаются и в ценовых движениях. Упомянутые выше колебания вокруг значения 1.618, описаны Правилом чередования в Волновой теории Эллиота.

Это не что иное, как проявление подсознательного желания большинства людей в нахождении Божественной пропорции, необходимой для удовлетворения их потребности в психологическом комфорте.

Обратную к 1,618 величину мы можем получить, разделив любой член суммационной последовательности Фибоначчи на следующий за ним член. Это число также весьма интересно и, в некотором роде, замечательно. В связи с тем, что исходное соотношение представляет собой бесконечную дробь, конца не должно быть и у этого соотношения.

Еще один, не менее примечательный факт состоит в том, что квадрат любого члена данной последовательности равен произведению предшествующего ему числа на последующее за ним число плюс минус один.
5 = (3 x 8) + 1
8 = (5 x 13) - 1
13 = (8 x 21) + 1

Плюс и минус непрерывно чередуются, демонстрируя тем самым еще одно правило волновой теории Эллиотта – правило чередования. Данное правило гласит, что чередование происходит постоянно: простые корректирующие волны чередуются со сложными, слабые импульсные волны с сильными, и так далее.